単利 複利 現在価値 について（ファイナンスの基本）

時間価値と複利計算はファイナンスにおいて非常に重要な概念です。
投資の将来の成果を計算するにあたり、金利が将来と現在のかけ橋となります。
金利について、単利と複利というそれぞれの考え方があり、お金の時間価値を計算するには、まず「単利」と「複利」のそれぞれの計算方法を知っておく必要があります。

（前提）
元本（円）：Ｘ
利率（％）：r （＊r％は0.0rとなる）
年数（年）：n

【単利とは】
単利は、元本・元金部分にのみ利息が付く仕組みです。
（計算方法）
毎年の利息は、Ｘ×（１+ｒ）で一定です。
n年後の金額は、Ｘ＋Ｘ×（１+ｒ）×nなので、Ｘ×（１+ｒ×n ）で計算できます。
例えば、１０００万円を５％で運用した場合の単利で計算した場合の毎年の利息は５０万円（＝１０００万円×５％）で元本は１０５０万円、５年後の元本は１２５０万円（＝１０００万円×（１＋０．０５×５））になります。

【複利とは】【将来価値とは】
複利は、利息が元本に再投資されること、すなわち、利息が元本・元金に組み込まれて、利息プラス元金に対してさらに利息が付く仕組みです。利息が利息を生むということです。
かのアインシュタインは、利息が元本に組み込まれる複利計算について、「人類最大の発見」と評したと言われています。
（計算方法）
毎年の利息は、前年までの元利（元金＋利息）に対して金利を掛けます。
n年後の元利（元金＋利息）は、Ｘ×（１+ｒ） ⁿとなります。
複利では、例えば、１０００万円を５％で運用した場合の複利で計算した場合の１年後の利息は５０万円（＝１０００万円×５％）で元本は１０５０万円ですが、２年後は１０５０万円に対して５％の利息となるため、１１０２万円（＝１０００万円×５％×５％）、５年後は１２７６万円（＝１０００万円×（１＋０．０５）^５）になります。４年後までの利息に対して利息を掛けるため、単利で計算した元利よりも２６万円大きくなります。
複利計算は利息支払いの頻度により、将来の元利が変化することに注意が必要ですが、ここでは年1回ということを前提にしておきます。

一般に複利計算により計算した将来の価値を将来価値（Future Value：FV）といいます。
すなわち、Ｘ円をr％の年利で計算したn年後の価値ＦＶ＝Ｘ×（１+ｒ） ⁿとなります。




複利では時間の経過に応じて二次関数により元利金が増えていきますので、計算期間が長期間になればあるほど単利による元利との差が大きくなっていきます。これが、「複利のパワー」などと言われる所以です。

以下、現在価値の説明をします。（下の「続きを読む」をクリックしてお進み下さい）
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映画「ラスベガスをぶっつぶせ」の３つのドアから当たりを選ぶ確率は２/３−なぜ当たりの確率が変わるのか？

2008年に公開されたアメリカ映画「ラスベガスをぶっつぶせ」は、MITの教授と学生がブラックジャックで確率を計算により勝率を上げるカードカウンティングという手法を駆使してカジノで大儲けするという話です。
この中で、映画の序盤の教授の授業の中で「３つのドアから当たりを選ぶ」ゲームがあり、どういうことかピンとこなかった方は多いのではないでしょうか。

大まかな概要は次の通りです。
映画の冒頭の方で、ラスベガスチームのリーダーになる教授が、講義中に、主人公の類まれな数学のセンスに気づき一目置くシーンがあります。
教授は、授業を聞いている主人公を指しこう言います。
「ここに、A、B、C、３つの閉じられた車庫があり、どれか一つには、ピカピカの新車が入っている。残りの二つには、ロバが入っている。さて、君はどれを選ぶのかな？」
ここで主人公は「A」を選択します。
教授は
「君はAを選択した。私は答えを知っている。それでは私は君にヒントを与えよう。」
と言いながら「C」の車庫を開ける。中身はロバ（外れ）。
教授は続けます。
「さて、残りは「A」と「B」となった。ここで、もう一度選択のチャンスを与えよう。君は、「B」に変更するかね？」
ここで主人公は即座に「A」から「B」に変更します。
教授は言います。
「変えてしまっていいのかね？私は答えを知っているから、ロバになるように誘導しているかもしれないよ。」
ここで主人公はこう答えます。
「確率変数です。最初の選択した「A」が当たりの確率は３３．３％。先生が残り２つのうち、一つを開けたことで、「B」の確率は６６．６％。すべては変わった。３３．３％の上澄みに感謝」
そして教授は「B」を開け、見事新車が出ました（当たり）、という話です。
（内容はこちらのブログから参考に引用させて頂きました。）

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原作はこちら

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教授が「C」を開けて再度選択する際に、残っている選択肢が「A」「B」なのだから、確率は「A」と「B」でそれぞれ５０％なんじゃないのか、なぜ「B」が当たりの確率が上がるのかと思う方は多いのではないでしょうか。

映画を見ていると詳細な条件説明が省略されているため、「A」と「B」で５０％というのは必ずしも間違っている考えではないのですが、教授のやり取りの中に確率を変えるヒントがあります。

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