2010年12月30日

72の法則(70の法則) とは

72の法則(70の法則)は、「複利○○パーセントで運用したときに元本が2倍になるのは何年後か」を計算するための簡便な計算方法としてたびたび取り上げられます。
これは、「年数=72÷年利」という式を使うと簡単に計算できるというもので、これが「72の法則」です。一般的には「72の法則」として説明されることが多いように思いますが、「70の法則」とされることもあります。
例えば、3%の複利で運用した場合に元本が倍増する年数を知りたい時、72÷3=24ですので、3%で毎年運用すると24年後に元本が倍になるというように計算できます。

ただ、実際に毎年同じ利回りの複利で資産を運用することは困難ですので、実はあまり実益のあるものではないかもしれません。
目標利回りの設定と、その目標利回りが達成された場合の結果を想像することで楽しみには使えます。
また、この法則の話を持ち出すことにより、「複利1%だと元本倍になるのに72年も掛かりますよ。10%だと7年ちょっとで倍になるんですよ。」という法則への不思議さへの好奇心とともに話を引きつけることが可能となります。


なぜ「72」又は「70」なのか。これは数学的にはテイラー展開の応用例で計算出来ます。年利r%が複利でn年回ると、元金は、(1+r/100)^n(n乗)倍になるので、これが2になるという式をnについて解けば出ます。(1+r/100)^n(n乗)=2の両辺の自然対数を取って割ると、n = log2/log(1+r/100)になる。ここで、logのテイラー展開(マクローリン展開)が、
log(1+x) = x −x^2/2 + x^3/3 − x^4/4 + …(注:^xはx乗)
であることから、1次の項までとってlog2/log(1+r/100)に放り込むと、ほぼ100log2/rになります。100log2は約70なので、70の法則が導けます。(神永正博先生のサイトより
細かくは、log2は0.693で約70、だから70の法則ということです。
数学的な詳しい解説はこちら。
エクセルでの計算の仕方の解説はこちら。

ここで興味深いことに気が付きます。
数学的には「70の法則」なのに、一般的には「72の法則」としての方が広く知られているように見受けられます。
「70」より「72」という数字の方が「神秘性」を感じる気がしませんか?本当のところは何故だかは分かりませんが、72の法則は不思議さをわきたてるためにに70の法則よりも広まっているのかもしれません。

さて、72の法則(70の法則)は実際の計算結果とどの程度離れているのでしょうか。(下の「続きを読むをクリックしてお進み下さい」)



70の法則、又は72の法則により計算される元本が2倍になる年数は下記表の通りです。
実際の倍率は、複利利回りが70の法則、または72の法則で計算された年数で実現された場合の実際の倍率です。
これが2に近いほど、70の法則または72の法則の計算結果が近似していることになります。
計算式は、「(1+複利利回り(%))×70(or72)の法則で計算された年数」により算出しています。
複利利回り70の法則で計算(年)実際の倍率72の法則で計算(年)実際の倍率
0.05%14002.013414402.054
0.1%7002.0137202.0536
0.5%1402.01021442.0507
0.7%1002.0088102.92.0492
1.0%702.0067722.047
3.0%23.31.9931242.0327
5.0%141.979914.42.0189
7.0%101.967110.32.0055
10.0%71.94877.21.9862
15.0%4.71.91984.81.9559
20.0%3.51.89293.61.9277

70の法則で計算した場合は、1%〜3%程度が近似し、72の法則で計算した場合は、7%〜10%程度が近似することが分かります。いずれも、近似する%を上下に離れるほど近似値が落ちていくことが分かります。

また、それぞれの利回りでの実際に元本が2倍になる年数は下記表の通りです。
元本が2倍になる年数は、2倍以上になる最初の年数の小数点以下1桁を記載しています。
例えば、元本の増加は複利7%で年数が10.2年だと1.9940で、10.3年だと2.0075となりますので、「10.3年」が複利7%で運用して元本が倍になる年数ということになります。
複利利回り元本が2倍になる年数
0.05%1386.6
0.1%693.5
0.5%139
0.7%99.4
1.0%69.7
3.0%23.5
5.0%14.3
7.0%10.3
10.0%7.3
20.0%3.9

このことからも、72の法則(70の法則)は近似値の%を外れていくほど実際の計算結果とは乖離はするものの、大きくは外れていないことが分かります。
暗算で計算出来る方法としては十分に有効性があると言えるでしょう。



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